提到古典数学在天文方面的应用,就想到平面三角学、球面三角学、对数、内差法等,但会忘掉平面几何学。其实在量测星球距离方面,古希腊人还真的让平面几何学变成为主要的工具。

我们知道日蚀有全蚀也有环蚀,所以平均起来,月亮的远近刚好可以挡住整个太阳,如图一所示。圆 $$M$$、圆 $$S$$ 各代表月亮与太阳,两圆的公切线交于地球上的一观测点 $$E$$。$$m$$、$$s$$ 各代表两圆的半径,$$x=ES$$、$$y=EM$$ 则分别为地球到太阳与月亮的距离。由相似形的关係,我们有 $$x:y=s:m$$,亦即距离比等于半径比。

此关係也可写成为

$$\displaystyle\frac{s}{x}=\frac{m}{y}\approx\angle{E}=\frac{1}{4}^\circ=\frac{1}{229}$$

(月亮与太阳的视角约为 $$\frac{1}{2}$$ 度;最后一等式是用弧度计算的)。

再看月半时,地球、月亮、太阳三者的关係如图二所示:$$\angle SME$$ 为直角,而测量 $$\angle MES$$ 时发现它很接近于直角,于是得到地日距 $${x}$$ 远大于地月距 $${y}$$ 的结论。

星球的距离(Distances of Heavenly Bo

场景转成月蚀的时候。观测某次的月蚀,如图三,地球的影子在月亮的地方形成一个圆 $$F$$,它盖掉月亮圆 $$M$$ 的一部分。我们看得到圆 $$F$$ 的部分圆弧 $$AB$$,由此可决定半径 $$AF$$ 的大小;我们也看得到圆 $$M$$ 的部分圆弧 $$AB$$,由此也可决定半径 $$AM$$ 的大小。假定地球影子圆 $$F$$ 的半径为 $${f}$$,则由相似的关係,得 $$\displaystyle\frac{f}{m}=\frac{AF}{AM}$$,令其比值为 $${z}$$。

星球的距离(Distances of Heavenly Bo

把太阳、地球及地影的半径 $${s}$$、$${e}$$、$${f}$$,按照距离平行排列,就得图四。夹在中间的 $${e}$$,是两端 $${s}$$、$${f}$$ 的加权平均,权数就是距离 $${x}$$ 及 $${y}$$,所以星球的距离(Distances of Heavenly Bo

$$\displaystyle e=\frac{ys+xf}{x+y}$$;

但 $$ys=xm$$,$$f=zm$$,

所以 $$\displaystyle e=\frac{xm+xzm}{x+y}=\frac{x(1+z)m}{x+y}$$。

因为 $${x}$$ 比 $${y}$$ 大得多,$$\displaystyle\frac{x}{x+y}$$ 几乎等于 $$1$$,所以

$$e \approx(1+z)m$$,或者 $$m=\frac{e}{1+z}$$

因此 $$\displaystyle y=229m=229\frac{e}{1+z}$$

希腊天文学家测得 $$z=2.8$$,就得 $${m}$$ 约为 $${e}$$ 的四分之一,而 $${y}$$ 约为 $${e}$$ 的 $$60$$ 倍。另外地球半径 $${e}$$ 可用简单的平面几何测得,这是大家熟知的事。

太阳外的恆星,只要不是太远,也可用平面几何来测量其距离。从地球上同一点,但相隔半年时间,各测一次某恆星 $$S$$ 的视线方位。则因两时地 $$E_1$$、$$E_2$$ 相差了两个天文单位(地日距离为一天文单位),对 $$S$$ 的视线方位会有变化,此恆星 $$S$$ 在 $$E_1$$、$$E_2$$ 的张角 $$\angle S$$ 就测得出来,因此就可算得 $$S$$ 的距离。(行星在半年内会大幅移动,这个方法就不管用。)星球的距离(Distances of Heavenly Bo

如图五,

从 $$E_1$$、$$E_2$$ 两时点各自对準 $$S$$ 后面很远的某恆星 $$S_0$$,

则视线 $$E_1F_1$$、$$E_2F_2$$ 可假设互相平行,

因此 $$\angle S$$ 就是 $$\theta_1\theta_2$$。

因为 $$S$$ 是相对的远,因此 $$E_1S$$ 与 $$E_2S$$ 几乎就相等,$$E_1SE_2$$ 就可视为以 $$S$$ 为圆心、$$SE_1$$ 为半径的扇形,所以 $$SE_1=\displaystyle\frac{E_1E_2}{\angle{S}}$$($$\angle S$$ 以弧度计算)。

用这种视差法测恆星距离其极限为 $$100$$ 光年。(超过了,则 $$\angle S$$ 太小而无法测得到相对的準确性。)